Boeken, getallen, stellingen

Door K.P. Hart

Vorige week ontspon zich een kleine discussie op Twitter over boeken en getallen; Marc van Oostendorp schreef op Neerlandistiek over een artikel van Paul Postal waarin de laatste over de aard, de ontologie, van boeken schrijft:

Ietwat kort door de bocht is de these van Postal dat een boek (hij gebruikte Pride and Prejudice als voorbeeld, Marc nam De Kleine Johannes als voorbeeld) als abstract object altijd al bestaan heeft, het is namelijk een rij symbolen (letters, spaties, interpunctie, …) en iemand heeft die rij een keer voor het eerst opgeschreven. Net als het getal gerepresenteerd door 7.987.923.892.274 (gezien de ene hit bij Google waarschijnlijk door Marc als eerste opgeschreven).

Voor het geval de ingebedde tweet hierboven niet goed werkt is hier een korte samenvatting van de discussie.

  • Mogelijke tegenwerping (Ionica Smeets): elk natuurlijk getal heeft een natuurlijke opvolger, hoe zit dat met boeken? Lijken boeken en stellingen niet meer op elkaar?
  • Antwoord (Marc): orden ze alfabetisch.
  • Ander argument (ik): dat werkt niet helemaal, als je alfabetisch wilt werken is Kleene-Brouwerorde beter, maar dan staan tussen elk tweetal boeken weer oneindig veel boeken (ik zag elke rij symbolen als een potentieel boek). Dit geldt overigens ook voor de normale Lexicografische orde van eindige rijen symbolen.
  • Antwoord (Marc): een boek van vijf miljard pagina’s is lang genoeg. Zou het verschil dan niet zijn dat er maar eindig veel boeken (kunnen) zijn?

Het laatste argument schuurt dan weer met de inhoud van het artikel van Postal (pagina 12): die laat willekeurig lange zinnen toe en concludeert dan dat er niet alleen oneindig veel boeken zijn maar zelfs overaftelbaar veel. Sterker nog: de boeken in een gegeven taal vormen niet eens een verzameling (volgens mij is dat laatste lariekoek maar daar hebben we het later nog wel eens over).

Is er wel verschil? Je kunt op diverse niveau’s naar deze vraag kijken.

Representaties: rijen symbolen

Als het om opgeschreven verhalen en opgeschreven getallen gaat dan is er inderdaad geen echt verschil: beide bestaan uit rijen symbolen die hun betekenis prijsgeven als je volgens bepaalde regels (in dit geval op school aangeleerd) decodeert.

Bestonden die rijen symbolen ook al voor ze werden opgeschreven? En zo ja, hoe lang al?
Dat is een lastige vraag en waarschijnlijk voer voor lange filosofische discussies. Mijn mening: eigenlijk wel. In ieder geval sinds halverwege de negentiende eeuw (dat maakt het voor Pride and Prejudice wat onzeker): toen begon men namelijk functies als objecten te beschouwen en niet als `formules’ of `regels’. En Cantor nam, gegeven twee verzamelingen X en Y, de verzameling van alle functies van X naar Y ter hand om machtsverheffen van kardinaalgetallen te definiëren.
Als we dus voor een groot genoeg natuurlijk getal N alle functies nemen van {1,2,…,N} naar ons alfabet, aangevuld met spaties en interpunctiesymbolen, dan zit daar het verhaal van De Kleine Johannes (1884) dus ook in. In de tijd van Pride and Prejudice was de wiskunde nog niet zo ver en ik laat het aan de meer filosofisch ingestelden onder ons om te overdenken of dat boek er (ver) voor 1811 ook al was.

Het boek zelf; het getal zelf

Tot nu toe hebben we boek en getal vereenzelvigd met hun representaties. Bij een boek is dat bijna noodzakelijk. We kunnen het boek anders representeren, denk aan een lange rij nullen en enen in een e-reader, maar we hebben bij het lezen toch de oorspronkelijke rij symbolen nodig (tenzij iemand zich heeft aangeleerd de binaire code uit het hoofd te vertalen maar dat lijkt me vergezocht).

Bij een getal is dat niet zo. Neem het getal gegeven in decimale representatie als 1729 (decimale representatie) of als 6C1 (hexadecimaal) of als 11011000001 (binair). Deze representeren alledrie exact dezelfde hoeveelheid stippen, of hoop kogeltjes. En die hoop kogeltjes is de kleinste die op twee verschillende manieren in drie hoopjes verdeeld kan worden die dan elk als kubus gestapeld kunnen worden.

En stellingen?

Ik was het in eerste instantie met Ionica eens maar nu twijfel ik. Ik vind achteraf dat stellingen dichter bij getallen liggen dan ik dacht. Een stelling heeft vele representaties maar de uiteindelijke betekenis is altijd dezelfde, net als elke representatie van een getal tot dezelfde hoeveelheid stippen, strepen, dropjes zal leiden.

Er is meer

In de tweets hadden we het ook over de mogelijkheid boeken en getallen te ordenen en het al dan niet bestaan van getallen. Daar zal ik het in een latere post een keer over hebben.

Afbeelding: Pxhere
Dit stuk verscheen eerder op
het blog van K.P. Hart